Preço de Opção de Compra sobre Futuros (Black-76)
Calcula o prêmio de uma opção de compra europeia sobre futuros pelo modelo de Black-76, a variação do Black-Scholes usada quando o ativo-objeto é um contrato futuro ou a termo. O preço é e^(−rT)·[F·N(d1) − K·N(d2)], com d1 e d2 montados a partir do preço do futuro, do strike, da volatilidade e do prazo. Como o futuro já embute o custo de carregamento, o desconto entra nos dois termos e a taxa de juros não aparece dentro de d1. É o padrão para opções sobre commodities, índices e taxas. Informe o preço do futuro, o strike, a taxa livre de risco, o prazo em anos e a volatilidade anual.
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Preço de Opção de Compra sobre Futuros (Black-76)
Calcula o prêmio de uma opção de compra europeia sobre futuros pelo modelo de Black-76, a variação do Black-Scholes usada quando o ativo-objeto é um contrato futuro ou a termo. O preço é e^(−rT)·[F·N(d1) − K·N(d2)], com d1 e d2 montados a partir do preço do futuro, do strike, da volatilidade e do prazo. Como o futuro já embute o custo de carregamento, o desconto entra nos dois termos e a taxa de juros não aparece dentro de d1. É o padrão para opções sobre commodities, índices e taxas. Informe o preço do futuro, o strike, a taxa livre de risco, o prazo em anos e a volatilidade anual.
Quando usar o Black-76 em vez do Black-Scholes
O Black-Scholes original foi pensado para opções sobre ações, onde o que importa é o preço à vista. Só que boa parte do mercado de opções não roda sobre o à vista, e sim sobre futuros: petróleo, juros, índice, café. Aí entra o Black-76. Fischer Black publicou esse ajuste em 1976, e a diferença é sutil mas decisiva: no lugar do preço à vista, a fórmula gira em torno do preço do futuro, que já traz embutido o custo de carregar o ativo até o vencimento.
Na prática isso muda duas coisas. O fator de desconto e^(−rT) passa a multiplicar a expressão inteira, não só o strike, e a taxa de juros some de dentro do d1. O resultado é o prêmio justo da call: o quanto, em tese, vale o direito de comprar aquele futuro pelo strike combinado. Compare esse número com o que está sendo cobrado no pregão e você tem uma leitura de a opção estar cara ou barata.
Os campos são os de sempre nesse tipo de conta: preço do futuro, strike, taxa livre de risco, prazo em anos e volatilidade anual. Vale lembrar que o modelo assume volatilidade constante e exercício europeu, então trate o número como referência, não como verdade absoluta. O mercado real tem sorriso de volatilidade e outras manhas que nenhuma fórmula fechada captura por inteiro.
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Preço de Opção de Venda sobre Futuros (Black-76)
Calcula o prêmio de uma opção de venda europeia sobre futuros pelo modelo de Black-76, a versão do Black-Scholes para quando o ativo-objeto é um futuro ou contrato a termo. O preço é e^(−rT)·[K·N(−d2) − F·N(−d1)], em que d1 e d2 vêm do preço do futuro, do strike, da volatilidade e do prazo. O futuro já carrega o custo de carregamento, então o fator de desconto multiplica os dois termos e os juros não entram em d1. Vale para puts sobre commodities, índices e taxas. Informe o preço do futuro, o strike, a taxa livre de risco, o prazo em anos e a volatilidade anual.
Black-Scholes-Merton com Dividendos (Call)
Calcula o preço de uma opção de compra europeia pelo modelo de Black-Scholes-Merton, a extensão que incorpora um dividend yield contínuo q. O prêmio é S·e^(−qT)·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2), e a presença do dividendo reduz o valor da call, porque parte do retorno do ativo escapa para quem detém a ação. É o modelo padrão para opções sobre ações que pagam proventos e sobre índices. Informe o preço à vista, o strike, a taxa de juros, o dividend yield, o prazo e a volatilidade.
Opção de Compra (Modelo de Bachelier)
Calcula o preço de uma opção de compra pelo modelo de Bachelier, que assume que o preço segue um movimento normal (aritmético) em vez de lognormal. Por permitir preços negativos, ele voltou à moda para precificar opções sobre ativos que podem ficar negativos, como ocorreu com o petróleo em 2020 e com alguns spreads. A volatilidade aqui é absoluta, em unidades de preço, não percentual. O prêmio é e^(−rT)·[(F−K)·N(d) + σ√T·φ(d)]. Informe o preço do forward, o strike, a taxa de juros, a volatilidade normal e o prazo.
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